Η ιστορία των Μαθηματικών

Η ιστορία των Μαθηματικών

Το αριθμητικό σύστημα

Ο άνθρωπος  χρειάστηκε  περίπου 1.000.000 χρόνια για να οδηγηθεί στην έννοια των αριθμών.

    Ο Homo sapiens (300.000 χρόνια πριν) χρησιμοποιεί κλαδιά για την αρίθμηση στην καθημερινότητά του.    Οι κυνηγοί μοίραζαν την τροφή τους χρησιμοποιώντας την πράξη της διαίρεσης. 

    Η  παλαιότερη ένδειξη αριθμητικής καταγραφής βρέθηκε στη Σουαζιλάνδη της Νότιας Αφρικής και είναι μια περόνη (οστό της κνήμης) μπαμπουίνου με 29 εμφανείς εγκοπές που χρονολογείται από το 35.000 π.Χ. Μοιάζει με τα «ημερολογιακά ραβδιά» που ακόμα χρησιμοποιούν στη Ναμίμπια για να καταγράφουν την πάροδο του χρόνου.  Άλλα κόκαλα, της νεολιθικής περιόδου, έχουν βρεθεί στη Δυτική Ευρώπη. Μια κερκίδα (οστό) λύκου που βρέθηκε στην Τσεχία το 30.000 π.Χ. φέρει 55 εγκοπές σε δύο σειρές ανά πέντε, οι οποίες μάλλον αποτελούν καταγραφή θηραμάτων.    Ένα από τα πιο ενδιαφέροντα ευρήματα είναι το αποκαλούμενο κόκκαλο Ισάνγκο, που βρέθηκε σε μια λίμνη ανάμεσα στην Ουγκάντα και το Κονγκό. Έχει χρονολογηθεί το 20.000 π.Χ. και μοιάζει να είναι κάτι παραπάνω από πίνακας θηραμάτων. Μικροσκοπική ανάλυση έφερε στο φως πρόσθετες εγκοπές, οι οποίες συσχετίζονται με τις φάσεις της σελήνης. Μέσω της αστρονομίας, της αστρολογίας ή της κοσμολογίας, ο ουρανός άσκησε τη μεγαλύτερη επίδραση στην εξέλιξη των μαθηματικών.

    Το  2.500 π.Χ. Οι Σουμέριοι ζύγιζαν. Υπολόγιζαν τη γη σε «σαρ», μετρούσαν τα υγρά σε «κα», χρησιμοποιούσαν κλάσματα και είχαν σύστημα αριθμών με βάση το 60.

   Ο Κινέζικος πολιτισμός (2852 π.Χ. )χρησιμοποιεί επίσης ένα σύστημα αριθμών με βάση το 60. Γνώριζαν γραμμικές εξισώσεις, αόριστες εξισώσεις, αρνητικούς αριθμούς, καθώς επίσης έκαναν αστρονομικούς υπολογισμούς πολλά χρόνια πριν από τους Έλληνες.  Τα μαθηματικά τους ήταν ανώτερα των Βαβυλωνίων και των Αιγυπτίων. Το παλαιότερο κινέζικο μαθηματικό κείμενο είναι το Τσόου Πέϊ Σάουντσινγκ (500-200π.Χ.).

                 Αργότερα, από το 2.000 π.Χ. έως το 538 π.Χ. οι Βαβυλώνιοι έφτασαν σε υψηλότερο επίπεδο μαθηματικής κουλτούρας σε σύγκριση με τους σύγχρονους Αιγύπτιους.   Αξιοσημείωτο είναι πως το Πυθαγόρειο θεώρημα είχε ανακαλυφθεί και από τους Βαβυλωνίους τον 16ο αιώνα π.Χ., δηλαδή, γύρω στα 1.000 χρόνια πριν από τη γέννηση του Πυθαγόρα! Οι Βαβυλώνιοι γνώριζαν τις τέσσερις πράξεις και τις ρίζες, έλυναν προβλήματα πρώτου και δεύτερου βαθμού, υπολόγιζαν εμβαδόν ορθογωνίων τριγώνων, παραλληλόγραμμων, τραπεζίων καθώς και το εμβαδόν του κύκλου (με π=3 αντί π=3,14). Το αριθμητικό τους σύστημα είχε ως βάση το 60 , ήταν μη ψηφιακό,  χωρίς υποδιαστολή και χωρίς μηδέν. Υποστηρίζεται ότι γνωρίζανε και το δεκαδικό σύστημα. Το εξηνταδικό σύστημα των Βαβυλωνίων έχει επιβιώσει μέχρι σήμερα στο μέτρημα του χρόνου. Έτσι  για παράδειγμα, όταν οι Βαβυλώνιοι ήθελαν να εκφράσουν τον αριθμό 75, έλεγαν «1,15», όπως κι εμείς σήμερα τα 75 λεπτά τα εκφράζουμε σαν 1 ώρα και 15 λεπτά.

Έως το 332 π.Χ. Οι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούν ένα σύστημα αριθμών με βάση το 10. Το σύστημά τους ήταν δεκαδικό κι επαναληπτικό.

Το 1410-1530 μ.Χ. οι Ίνκας έφτιαξαν ένα αριθμητικό σύστημα με βάση το 10, για να παρακολουθούν τις καθημερινές δραστηριότητες του μεγάλου πληθυσμού τους .Το αριθμητικό τους σύστημα βασιζόταν στα quipus, τα οποία ήταν περίπλοκα συστήματα σπάγκων με κόμπους που χρησίμευαν για την καταχώρηση και αποθήκευση αριθμητικών πληροφοριών. Το σύστημά τους ήταν δεκαδικό, θεσιακό, μη ψηφιακό. Οι Ίνκας έκαναν τις πράξεις τους χρησιμοποιώντας ένα είδος άβακα, το γιουπάνα. Το γιουπάνα ήταν μια πλάκα χωρισμένη σε τετράγωνα πάνω στα οποία τοποθετούσαν σπόρους καλαμποκιού που τους μετακινούσαν από τετράγωνο σε τετράγωνο για να κάνουν τους λογαριασμούς τους.

   Αργότερα, οι Μάγια είχαν αριθμητικό σύστημα εικοσαδικό και με ειδικό σύμβολο για το μηδέν. Το εικοσαδικό σύστημα οφείλεται ενδεχομένως στη χρήση των δαχτύλων τόσο των χεριών όσο και των ποδιών, για τη στοιχειώδη μέτρηση. Οι Μάγια είχαν δύο ημερολόγια. Το πρώτο, το «Τζόλκιν», ήταν θρησκευτικό και αποτελούταν από 260 μέρες. Περιλάμβανε 13 μήνες των 20 ημερών. Το δεύτερο, το «αστικό» ημερολόγιο, ονομαζόταν «Χάαμπ» και ήταν ένα ηλιακό ημερολόγιο 635 ημερών. Είχε 18 μήνες των 20 ημερών και έναν μικρό μήνα των 5 ημερών .Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι είχαν ένα ημερολόγιο με 12 μήνες των 30 ημερών και ένα κουτσουρεμένο μήνα των 5 ημερών.

   Το αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιούμε σήμερα είναι ψηφιακό, δεκαδικό, θεσιακό, με υποδιαστολή και μηδέν.

   Ψηφιακό, διότι οι μονάδες του παριστάνονται με διαφορετικά σύμβολα και όχι επανάληψη του ίδιου συμβόλου, π.χ. το τρία έχει το δικό του σύμβολο (3), ενώ σε ένα μη ψηφιακό σύστημα θα συμβολιζόταν επαναλαμβάνοντας τρεις φορές το σύμβολο για το 1. Στο βαβυλωνιακό, το αιγυπτιακό, το ρωμαϊκό και πολλά άλλα αριθμητικά συστήματα της αρχαιότητας το τρία παριστάνεται ως ΙΙΙ.

   Δεκαδικό, επειδή κάθε φορά που συμπληρώνονται δέκα μονάδες δημιουργείται μια μονάδα ανωτέρας τάξης. Οι αριθμοί από το 0 μέχρι το 9 είναι μονοψήφιοι. Ο αριθμός 10 γράφεται ως ένα και μηδέν δηλαδή μια μονάδα ανωτέρας τάξης (δεκάδα) και καμιά απλή μονάδα.

    Θεσιακό, γιατί η αξία του κάθε ψηφίου καθορίζεται από τη θέση του μέσα στον αριθμό. Έτσι στο 4737 από δεξιά προς τα αριστερά η αξία αυξάνεται. Όταν θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε υποδιαιρέσεις της μονάδας (δέκατα, εκατοστά, χιλιοστά, …) τότε η υποδιαστολή μας δείχνει που σταματούν οι ακέραιες μονάδες και που αρχίζουν οι κλασματικές. Έτσι αυτό που μας επιτρέπει να διαφοροποιήσουμε το 31,2 από το 3,12 είναι η υποδιαστολή.

    Εξηνταδικό, αφού απαιτούνται 60 απλές μονάδες για να δημιουργήσουν μια μονάδα ανωτέρας τάξεως, μια εξηντάδα. Με εξήντα εξηντάδες (3.600  μονάδες) φτιάχνουμε μια μονάδα ανωτέρας τάξεως. Έτσι ο αριθμός 125 απαρτίζεται από δύο (δύο εξηντάδεις=120) και το πέντε (πέντε μονάδες), ενώ ο αριθμός 634 απαρτίζεται από το δέκα (δέκα εξηντάδες=600) και το 24 (24 μονάδες).

   Τα επιτεύγματα των Ελλήνων, για 1000 χρόνια επισκιάζουν όλα τα πνευματικά επιτεύγματα των επόμενων 1500 ετών. Οι Έλληνες όμως στηρίχτηκαν στις παλαιότερες αρχαίες κοινωνίες των Βαβυλωνίων και Αιγυπτίων. Χρησιμοποιούσαν δύο είδη αριθμητικών συστημάτων με βάση το 10: το Ηρωδιανό ή Αττικό και το Ιωνικό ή Αλεξανδρινό. Δε χρησιμοποιούσαν το μηδέν και τα κλάσματα. Οι Έλληνες θεμελίωσαν τη γεωμετρία ως μια αμιγώς μαθηματική ενασχόληση: διατύπωσαν και απέδειξαν θεωρήματα. Το πρώτο Ελληνικό μαθηματικό βιβλίο (σε παπύρους) είναι τα Στοιχεία του Ευκλείδη (300 π.Χ.)

Ο Πυθαγόρας (580-500 π.Χ.) υπήρξε ο σπουδαιότερος μαθηματικός όλων των εποχών. Αυτός έπλασε τη λέξη μαθηματικά, δηλαδή εκείνο που έχουμε μάθει. Ο Πυθαγόρας μεταμόρφωσε την επιστήμη των μαθηματικών σε στοιχείο ελεύθερης μόρφωσης.

Ο Θαλής ο Μιλήσιος (640-546 π.Χ.) Οι γραμμές για το Θαλή δεν ήταν κάτι που μπορείς να δεις στην άμμο, αλλά ήταν αντικείμενα σκέψης στη φαντασία μας. Πήρε φυσικά σχήματα και τα έκανε νοητικά σχήματα. Όλα αυτά ήταν επανάσταση για την εποχή του. Επίσης έκανε λογικές απαγωγές, που τον οδήγησαν από τη μία αλήθεια που αφορούσαν τα θεωρητικά σχήματά του στην ανακάλυψη κι άλλων αληθειών, αυτό επηρέασε τη Δυτική σκέψη για 2.000 έτη.

Ο Πλάτωνας θεωρούσε τα Μαθηματικά προπαρασκευαστικό μάθημα για τη φιλοσοφία. Η εμβάθυνση στον κόσμο των νοητικών αναπαραστάσεων, που είναι ο κατεξοχήν κόσμος που ζει ένας μαθηματικός, οδηγεί στον κόσμο των ιδεών του Πλάτωνα. Αυτός ο κόσμος είναι ο μόνος που  μπορούμε να κατανοήσουμε σε βάθος. Δεν είναι τυχαίο ότι σήμερα οι περισσότεροι ώριμοι μαθηματικοί είναι Πλατωνιστές. Η «Οδός Μαθηματικής» είναι το πρώτο ελληνικό μαθηματικό εγχειρίδιο της νεότερης ιστορίας μας, γραμμένο από τον Μεθόδιο Ανθρακίτη και τον Μπαλάνο Βασιλόπουλο, για χρήση μαθητών στα ελληνικά σχολεία την εποχή της Τουρκοκρατίας.

   Οι σπουδαιότεροι Μαθηματικοί όλων των εποχών είναι: Ο Πυθαγόρας, ο Ευκλείδης, ο Θαλής, ο Αρχιμήδης, ο Γκαλουά, ο Καρτέσιος, Ο Νεύτων, ο Γκάους, ο Φερμά, ο Ντέντεκιντ, ο Καντόρ, ο Νόιμαν, ο Γκέντελ, ο Ράσελ, ο Γαλιλαίος, ο Ώιλερ και ο Ουάϊλς. Στην κορυφή της πυραμίδας των Μαθηματικών πρέπει να τοποθετήσουμε τον Αρχιμήδη, τον Νεύτωνα και τον Γκάους. Εξίσου σημαντικές ήταν οι γυναίκες μαθηματικοί όπως η Υπατία (370-415 μ.Χ.), η Μαρία Ανιέζι (1718-1799 μ.Χ.), η Σοφί Ζερμαίν (1776-1831), Η Άντα Κινγκ, κόρη του Λόρδου Βύρωνα, θεωρείται σήμερα η πρώτη προγραμματίστρια υπολογιστών στον κόσμο, η  Σοφία Κοβαλέβσκαγια (1850-1891) και η καθηγήτρια Μαθηματικών του Πανεπιστημίου του Μπέρκλει Τζούλια Ρόμπινσον (1919-1985).